dA-tools.com

HOME > AfterFx > 基礎数学 > 数学:三角関数

三角比・三角関数

サイン・コサイン・タンジェント sin/cos/tan

Triangl01.jpg三角比は直角三角形の辺と角度の関係です。

  • sinθ=高さ÷斜辺
  • cosθ=底辺÷斜辺
  • tanθ=底辺÷高さ

Triangl02B.jpgXY座標に原点を中心とした半径1の円を描いて、この円周上の点AからX軸に垂線を下ろすとその値Xは三角関数の定義
cosθ=底辺÷斜辺(=1) から X=cosθ になります。

同様に Y=sinθとなり点Aの座標は(cosθ,sinθ)になります。
斜辺の長さがLの場合、その位置は(L*cosθ, L*sinθ) で求められます。
つまり三角関数は前項の「座標」と「ベクトル」の関係とまったく同じで、角度と長さによって定義される位置をXY座標に変換出来る関数なのです。

逆にXY座標から角度を求めるにはtanの逆関数:アークタンジェントを使うのが簡単です。角度θは次の式で得られます。

θ=atan(Y/X)

しかしatanの値は-90から90度に制限されています。つまりXの値が正と負の区別が出来ないのです。これを回避するためにMath.atan2(Y,X )というメソッドが用意されています。これは引数としてY,Xを与えると-πからπの値を返してくれます。実例:パース定規

三角関数の公式

  • 正弦定理:a÷sinA=b÷sinB=c÷sinC=2R
  • 余弦定理:a*a=b*b+c*c-2*b*c*cosA

Triangl03.jpg
実際には次の場合分けを考えます。

2角とその角に挟まれる1辺が決まるなら正弦定理
2辺とその辺に挟まれる1角が決まるなら余弦定理
3辺が決まるなら余弦定理

三角関数のグラフ

同じ形が繰り返し現れるグラフを持つ関数(周期関数)でよく使われる用語がいくつかあります。

sinAmpHz.jpg

  • 同じ形の幅 :周期(cycle)
  • 1秒間の周期 :周波数(frquenc単位:Hz )
  • 1周期 : 360°= 2π
  • 1周期の長さ :波長
  • 0から山の頂上までの幅:振幅=Amp

y=a * sinK * x において
a = 振幅、 k= 周期 を表します。

グラフの平行移動

y=sin(x-α) はsin(x)のグラフをx軸方向へαだけ平行移動したグラフになります。
(図ではα=-1/2π)

sinFaze.jpg

振動の過程がどの段階にあるかを示す変数を”位相”と呼び、右図では位相が90°ずれていることになります。これはcos(x)と同じグラフです。